Vissza a főoldalraA hidrogén atom (negatív töltésű) elektronját az elektrosztatikus vonzóerő tartja körpályán a (pozitívan töltött) atommag körül. Newton II. törvénye szerint jelen esetben a Coulomb-féle erő egyenlő a tömeg és a centripetális gyorsulás szorzatával:
|
m v2 r |
= | e2 4 π ε0 r2 |
m ... az elektron tömege
v ... az elektron sebessége
r ... a pálya sugara
e ... elemi töltés
ε0 ... vákuum permittivitás
De csak azok a pályasugarak a megengedettek, melyekre az impulzusmomentum a h / (2 π) egész számú többszöröse.
| r m v | = | n × | h 2 π |
r ... a pálya sugara
m ... az elektron tömege
v ... az elektron sebessége
n ... főkvantumszám(n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planck-állandó
A Bohr-féle kvantálási feltétel hihetőnek hangzik, ha elfogadjuk a de Broglie hullámok (az anyag hullám tulajdonsága) gondolatát kiindulásként: Az elektronhoz tartozó hullámhossz λ = h / (m v). Ahhoz, hogy a mag körül állóhullám legyen szükséges feltétel, hogy a pálya kerülete a hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Ebből azt kapjuk: 2 r π = n h / (m v), ami bizonyítja a fent említett kvantálási feltételt.
A második egyenletből v-t kifejezve, és azt behelyettesítve az első egyenletbe a megengedett pályasugarakra a következő eredményt kapjuk:
| r | = | h2 ε0
m e2 π |
× n2 |
h ... Planck-állandó
ε0 ... vákuum permittivitás
m ... elektron tömege
e ... elemi töltés
n ... főkvantumszám (n = 1, 2, 3, ...)
Felhasználva: E = Epot + Ekin = − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 kapjuk, hogy:
| E | = | − | m e4 8 ε02 h2 |
× | 1 n2 |
m ... elektron tömege
e ... elemi töltés
ε0 ... vákuum permittivitás
h ... Planck-állandó
n ... főkvantumszám (n = 1, 2, 3, ...)
Szigorúan véve apró módosítást kell eszközölnünk ezen a képleten. Bár a mag tömege jóval nagyobb, mint az elektroné, de nem végtelen. Ezért az elektron is és a mag is a közös tömegközéppontjuk körül kering, mely nem esik teljesen egybe az atom középpontjával. Ha ezt is figyelembevesszük, akkor az elektron (m) tömegét ki kell cserélnünk az m' úgynevezett redukált tömeggel:
| m' | = | mN m mN + m |
m ... elektron tömege
mN ... mag tömege
URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phhu/bohrmodel_math_hu.htm
Walter Fendt, 1999. Május 29.
Magyar változat: Serényi Tamás, 2004.
Utolsó módosítás: 2016. Március 31.