Um das Volumen einer Halbkugel vom Radius r (Schrägbild links oben) herauszufinden, verwendet man einen Vergleichskörper (Schrägbild rechts oben), dessen Volumen einfacher zu berechnen ist: Es handelt sich um einen geraden Kreiszylinder mit Radius r und Höhe r, aus dem ein gerader Kreiskegel, ebenfalls mit Radius r und Höhe r, herausgenommen wurde.
Es lässt sich nun zeigen, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen besitzen. Dazu stellt man sich vor, dass beide Körper parallel zur jeweiligen Grundfläche durchgeschnitten werden. Im Fall der Halbkugel entsteht als Schnittfläche ein Kreis (grün), im Fall des Vergleichskörpers ein Kreisring (orange). Der Abstand (h) der Schnittebene von der Ebene der Grundfläche kann jeden Wert zwischen 0 und r annehmen. Durch Ziehen der Maus mit gedrückter Maustaste lässt sich dieser Abstand h verändern. Im unteren Teil der App sind die beiden Schnittflächen in wahrer Größe zu sehen.
Wenn man r und h kennt, lassen sich die Inhalte der beiden Schnittflächen leicht berechnen.
Für den Inhalt der grünen Schnittfläche ergibt sich zunächst A1 = s2π. Da das eingezeichnete Dreieck links oben in der App rechtwinklig ist, erhält man nach Pythagoras s2 + h2 = r2, das heißt s2 = r2 − h2. Daher hat die grüne Schnittfläche den Inhalt A1 = (r2 − h2) π.
Noch einfacher ist die Rechnung für die orange gezeichnete Schnittfläche: Man nimmt den Inhalt der äußeren Kreisfläche minus den Inhalt der inneren Kreisfläche und erhält A2 = r2π − h2π = (r2 − h2) π.
Die Inhalte der beiden Schnittflächen stimmen also tatsächlich überein, und zwar für jeden Wert von h zwischen 0 und r. Nach dem Prinzip von Cavalieri muss folglich auch das Volumen der Halbkugel gleich dem Volumen des Vergleichskörpers sein.
VHalbkugel = VVergleichskörper = VZylinder − VKegel = r2π · r − (1/3) r2π · r = (2/3) r3π
Wenn man das Volumen einer ganzen Kugel berechnen will, ist dieses Ergebnis noch zu verdoppeln. Somit lautet die endgültige Formel: