Online-Rechner
Legendre-, Jacobi- und Kronecker-Symbol

Quadratischer Rest ist ein Begriff, der in der Zahlentheorie von Bedeutung ist. Dabei geht es um die Frage, ob sich aus einem gegebenen Element eines gegebenen Restklassenrings die Quadratwurzel ziehen lässt. Bei der folgenden Definition werden eine ganze Zahl a und eine natürliche Zahl n > 1 vorausgesetzt.

• a wird quadratischer Rest modulo n genannt, wenn a und n teilerfremd (relativ prim) sind und wenn es eine ganze Zahl x gibt, sodass x² kongruent zu a modulo n ist (Schreibweise: x² ≡ a mod n). Die letzte Bedingung lässt sich auch so ausdrücken, dass die Differenz x² − a durch n teilbar sein muss.
• a heißt quadratischer Nichtrest modulo n, wenn a und n teilerfremd sind und wenn es keine ganze Zahl x gibt, sodass x² kongruent zu a modulo n ist.
• Sind a und n nicht teilerfremd, so ist a weder quadratischer Rest noch quadratischer Nichtrest modulo n.

Beispiele:

5 ist quadratischer Rest modulo 11, wie man aus 4² = 16 ≡ 5 mod 11 erkennt.
2 ist quadratischer Nichtrest modulo 11, weil es keine ganze Zahl x mit x² ≡ 2 mod 11 gibt. (Durchprobieren: 1², 2², ..., 10²)
22 ist kein quadratischer Rest und auch kein quadratischer Nichtrest modulo 11, denn 22 und 11 haben den gemeinsamen Teiler 11.

Das Legendre-Symbol gibt an, welcher der drei Fälle zutrifft. Man schreibt die gegebenen Zahlen in einer Klammer untereinander, mit einer waagrechten Linie (kein Bruchstrich) dazwischen. Im ersten Fall (quadratischer Rest) hat das Symbol den Wert 1, im zweiten Fall (quadratischer Nichtrest) den Wert −1 und im dritten Fall (nicht teilerfremde Zahlen) den Wert 0. Beim Legendre-Symbol wird vorausgesetzt, dass die untere Zahl eine ungerade Primzahl (3, 5, 7, 11, ...) ist.

Für die Verallgemeinerungen, nämlich das Jacobi-Symbol und das Kronecker-Symbol, verwendet man die gleiche Schreibweise. Beim Jacobi-Symbol sind für die untere Zahl ungerade natürliche Zahlen erlaubt, beim Kronecker-Symbol sogar beliebige ganze Zahlen. Allerdings kann es bei beiden Verallgemeinerungen vorkommen, dass das Symbol den Wert 1 hat, aber die obere Zahl trotzdem kein quadratischer Rest modulo der unteren Zahl ist.

Dieser Online-Rechner erlaubt die Eingabe von Zahlen bis zum Betrag 1 000 000. Die Eingabe kann mit der Enter-Taste abgeschlossen werden oder durch einen Klick auf den OK-Button. Wenn es sinnvoll ist, wird links oben eine Aussage dazu gemacht, ob ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest vorliegt oder ob die gegebenen Zahlen einen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen (mit knapper Begründung). Links unten wird der Wert des Legendre-, Jacobi- bzw. Kronecker-Symbols ausgegeben, bei den zwei allgemeineren Symbolen mit kurzer Rechnung.