Der Begriff Körper (engl. field) spielt in der Algebra eine wichtige Rolle. Grob gesagt, drückt dieser Begriff aus, dass in einer gegebenen Menge zwei Rechenarten (Addition und Multiplikation) definiert sind, für die im Wesentlichen die gleichen Regeln gelten wie beim Rechnen mit rationalen Zahlen. Konkreter: Summe und Produkt zweier Elemente müssen wieder zur Menge gehören (Abgeschlossenheit), die Assoziativgesetze und Kommutativgesetze müssen erfüllt sein, für beide Rechenarten muss es neutrale Elemente geben (0 für die Addition, 1 für die Multiplikation) und zu einem Element x müssen inverse Elemente existieren (−x bezüglich der Addition, x−1 für x ≠ 0 bezüglich der Multiplikation). Außerdem wird noch die Gültigkeit des Distributivgesetzes gefordert.
Die bekanntesten Beispiele sind der Körper Q der rationalen Zahlen, der Körper R der reellen Zahlen und der Körper C der komplexen Zahlen. Diese Körper haben jeweils unendlich viele Elemente.
Frage: Gibt es auch Körper mit endlich vielen Elementen?
Antwort: Ja, es gibt Körper mit endlich vielen Elementen, aber die Zahl der Elemente muss entweder eine Primzahl (p) sein oder eine Potenz davon (p2, p3, p4 usw.). Es existiert also zum Beispiel kein Körper mit genau 6 Elementen, weil sich die Zahl 6 in zwei verschiedene Primfaktoren zerlegen lässt: 6 = 2 · 3
Körper mit endlich vielen Elementen werden nach dem französischen Mathematiker Évariste Galois (1811 - 1832) als Galois-Felder bezeichnet. Im Folgenden soll anhand von zwei typischen Beispielen das Rechnen in Galois-Feldern erläutert werden.
Hier gibt es nur die Elemente 0, 1, 2, 3 und 4. Damit beim Addieren oder Multiplizieren keine anderen Elemente herauskommen, rechnet man modulo 5. Das bedeutet, dass man zunächst "normal" rechnet, anschließend durch 5 dividiert und den Divisionsrest als Ergebnis nimmt.
| Beispiel zur Addition: | 3 + 4 = 2; | ("normal" 3 + 4 = 7; | 7 : 5 ergibt 1 Rest 2) |
| Beispiel zur Multiplikation: | 2 · 4 = 3; | ("normal" 2 · 4 = 8; | 8 : 5 ergibt 1 Rest 3) |
Entsprechend definiert man Addition und Multiplikation in einem Galois-Feld GF(p), wenn p eine beliebige Primzahl ist. Das "kleinste" Galois-Feld ist GF(2) mit den Elementen 0 und 1. Es hat die Besonderheit, dass es keinen Unterschied zwischen Addition und Subtraktion gibt.
Hier ist die Sache schon deutlich komplizierter. Wegen 8 = 23 geht man vom einfacheren
Galois-Feld GF(2) aus.
GF(2) ist der Primkörper von GF(8);
2 ist die Charakteristik des Körpers GF(8).
Zusätzlich zu den Elementen 0 und 1 von GF(2) benötigt man eine Wurzel (Nullstelle) des Polynoms x3 + x + 1, also ein Element α mit der Eigenschaft α3 + α + 1 = 0. Alle Elemente von GF(8) lassen sich in der Form c0 + c1 α + c2 α2 schreiben, wobei nur Koeffizienten c0, c1, c2 aus GF(2) erlaubt sind.
Die Addition ist nun kein großes Problem mehr, wie das folgende Beispiel zeigt. (Im Grunde muss man nur daran denken, dass in GF(2) die Aussage 1 + 1 = 0 gilt.)
(1 + α2) + (1 + α) = α + α2
Das nächste Beispiel soll die Multiplikation in GF(8) demonstrieren:
(1 + α2) · (α + α2) = α + α2 + α3 + α4
Da das Ergebnis noch nicht die gewünschte Form hat, muss man noch α3 und α4 durch Potenzen mit kleineren Exponenten ausdrücken. Aus α3 + α + 1 = 0 folgt:
α3 = −α − 1 = α + 1 (wegen Charakteristik 2)
α4 = α3 · α
= (α + 1) · α
= α2 + α
Durch Einsetzen erhält man demnach:
(1 + α2) · (α + α2) = α + α2 + (α + 1) + (α2 + α) = 1 + α (wegen Charakteristik 2)
Hier geht man vom Primkörper GF(p) mit den Elementen 0, 1, ..., p−1 aus. Zusätzlich benötigt man ein geeignetes Polynom vom Grad n, das über GF(p) irreduzibel (unzerlegbar) ist. Ist α eine Wurzel dieses Polynoms, dann lässt sich jedes Element von GF(pn) in der Form c0 + c1 α + ... + cn−1 αn−1 ausdrücken, wobei die Koeffizienten c0, c1, ..., cn−1 aus dem Primkörper GF(p) stammen müssen.
Dieser Online-Rechner ist für Galois-Felder geeignet, deren Ordnung nicht größer ist als 100. Die Ordnung lässt sich im Auswahlfeld rechts oben einstellen. Mithilfe von Radiobuttons wird eine zweistellige Verknüpfung (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) oder eine einstellige Verknüpfung (Inverses bezüglich Addition oder Multiplikation) ausgewählt. Die Eingabe der Operanden erfolgt über Auswahlfelder. Zusätzlich zum Ergebnis (unten) wird auf der linken Seite eine Verküpfungstafel oder eine Tabelle inverser Elemente angezeigt. Da diese Tabellen ziemlich umfangreich sein können, lassen sie sich mit der Maus beziehungsweise mit einem Finger verschieben.